数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，点（Sn，Sn+1）在直线y=n+1nx+n+1（n∈N*）上．（Ⅰ）求证：数列{Snn}是等差数列；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=an?2an，求数列{bn}的前n项和Tn；（Ⅲ）设Cn=Tn22-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，点（Sn，Sn+1）在直线y=n+1nx+n+1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=3，点（S_n，S_n+1）在直线y=

n+1

n

x+n+1（n∈N*）上．
（Ⅰ）求证：数列{

Sn

n

}是等差数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足bn=an?2an，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）设Cn=

Tn

22n+3

，求证：C1+C2+…+Cn＞

20

27

．

试题来源：宣武区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵点（S_n，S_n+1）在直线y=

n+1

n

x+n+1（n∈N*）上，
Sn+1=

n+1

n

Sn+n+1，
同除以n+1，则有：

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1
∴数列{

Sn

n

}是以3为首项，1为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，S_n=n²+2n（n∈N*），∴当n=1时，a₁=3，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，经检验，当n=1时也成立，
∴a_n=2n+1（n∈N*）．
∵bn=an2an，∴b_n=（2n+1）?2²ⁿ⁺¹，
T_n=3?2³+5?2⁵++（2n-1）?2^2n-1+（2n+1）?2²ⁿ⁺¹4T_n
=3?2⁵++（2n-3）2^2n-1+（2n-1）2²ⁿ⁺¹+（2n+1）2²ⁿ⁺³
解得：T_n=(

2

3

n+

1

9

)?22n+3-

8

9

．
（Ⅲ）∵Cn=

Tn

22n+3

=

2n

3

+

1

9

-

1

9

?(

1

4

)n
∴C1+C2+…+Cn=

2

3

?

n(n+1)

2

+

1

9

?n-

1

9

?

1

4

[1-(

1

4

)n]

1-

1

4

=

3n2+4n

9

-

1

27

+

1

27

(

1

4

)n＞

3n2+4n

9

-

1

27

≥

7

9

-

1

27

=

20

27

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，点（Sn，Sn+1）在直线y=n+1nx+n+1..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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