已知数列{an}中，a1=a，a2=2，Sn是数列{an}的前n项和，且2Sn=n（3a1+an），n∈N*．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）若bn=2(n=1)8an+1?an+2(n≥2)Tn是数列{bn}的前n项和，-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=a，a2=2，Sn是数列{an}的前n项和，且2Sn=n（3..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=a，a₂=2，S_n是数列{a_n}的前n项和，且2S_n=n（3a₁+a_n），n∈N^*．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若bn=

2 (n=1)

8

an+1?an+2

(n≥2)

T_n是数列{b_n}的前n项和，且an+2?Tn＜m?

a

2n+2

+2对一切n∈N^*都成立，求实数m取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵2S_n=n（3a₁+a_n），S₁=a₁=a，
∴2a=4a，
所以a=0．…..（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 Sn=

nan

2

，
∴Sn+1=

(n+1)an+1

2

．
∴an+1=Sn+1-Sn=

(n+1)an+1

2

-

nan

2

．
∴（n-1）a_n+1=na_n．
∴当n≥2时，

an+1

an

=

n

n-1

．
∴

an+1

an

=

n

n-1

an

an-1

=

n-1

n-2

，…，

a3

a2

=

2

1

，
∴

an+1

a2

=n．
∴a_n=2（n-1），n≥2．
∵a₁=a=0满足上式，
∴a_n=2（n-1），n∈N^*．…..（6分）
（Ⅲ）当n≥2时，bn=

8

2n?2(n+1)

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．…..（7分）
又b₁=2，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=2+2(

1

2

-

1

3

)+…+2(

1

n

-

1

n+1

)…..（9分）
=2+2(

1

2

-

1

n+1

)=

3n+1

n+1

所以Tn=

3n+1

n+1

．…..（10分）
因为an+2?Tn＜m?

a

2n+2

+2对一切n∈N^*都成立，
即2(n+1)?

3n+1

n+1

＜m?4(n+1)2+2对一切n∈N^*都成立．
∴m＞

3

2

.

n

n2+2n+1

=

3

2

.

1

n+

1

n

+2

．…..（12分）
∵n+

1

n

≥2，当且仅当n=

1

n

，即n=1时等号成立．
∴n+

1

n

+2≥4．
∴

1

n+

1

n

+2

≤

1

4

∴m＞

3

8

．…..（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=a，a2=2，Sn是数列{an}的前n项和，且2Sn=n（3..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：