已知二次函数f（x）=ax2+x．对于?x∈（0，1]，|f（x）|≤1成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+x．对于?x∈（0，1]，|f（x）|≤1成立，求实数a的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+x．对于?x∈（0，1]，|f（x）|≤1成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解法一：|f（x）|≤1?-1≤f（x）≤1?-1≤ax²+x≤1，x∈（0，1]=1 ①
①式等价于-

1

x2

-

1

x

≤a≤

1

x2

-

1

x

在x∈（0，1]上恒成立．
设t=

1

x

，则t∈[1，+∞），则有-t²-t≤a≤t²-t，所以只须，

a≥(-t2-t)max=-2

a≤(t2-t)min=0

?-2≤a≤0，又a≠0，
∴-2≤a＜0．
综上，所求实数a的取值范围是[-2，0）．
解法二：由|f（x）|≤1得-1≤ax²+x≤1，x∈（0，1]，
（1）当a＞0时，函数f（x）=ax²+x的图象开口方向向上，对称轴为x=-

1

2a

＜0，
且经过原点（0，0），只需f（1）=a+1≤1，即a≤0，矛盾!
（2）当a＜0时，函数f（x）=ax²+x的图象开口方向向下，对称轴为x=-

1

2a

＞0，
且经过原点（0，0），f（1）=a+1＜1，
（i）当-

1

2a

＜

1

2

，即a＜-1时，需满足f(x)max=f(-

1

2a

)=-

1

4a

≤1
及f（x）_min=f（1）=a+1≥-1，即-2≤a≤-

1

4

；
（ii）当

1

2

≤-

1

2a

≤1，即-1≤a≤-

1

2

时，需满足f(x)max=f(-

1

2a

)=-

1

4a

≤1，
即a≤-

1

4

，
∴-1≤a≤-

1

2

；
（iii）当-

1

2a

≥1，即-

1

2

≤a＜0，需满足f（x）_max=f（1）=a+1≤1，这显然成立；
综上，实数a的取值范围是[-2，0）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+x．对于?x∈（0，1]，|f（x）|≤1成立，求实数a的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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