已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-23时都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若x∈[-1，2]，都有f（x）-c2＜0成立，求c的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-23时都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-

2

3

时都取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若x∈[-1，2]，都有f（x）-c²＜0成立，求c的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知，f'（x）=3x²+2ax+b，∵在x=1与x=-

2

3

时取极值，
∴

f′(1)=0

f′(

2

3

)=0

即

3+2a+b=0

3×(-

2

3

)2+2a×(-

2

3

)+b=0

解得a=-

1

2

，b=-2，故a，b的值为：-

1

2

，-2
（Ⅱ）（解法一）由（I）知f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c．由f(x)-c2＜0得：x3-

1

2

x2-2x＜c2-c在[-1，2]上恒成立．
设g(x)=x3-

1

2

x2-2x(x∈[-1，2])，g′(x)=3x2-x-2．…（8分）
由g′(x)=0得，x=-

2

3

或x=1．，g(-1)=

1

2

，g(-

2

3

)=

22

27

，g(1)=-

3

2

，g(2)=2．…（10分）
∴[g（x）]_max=2，∴2＜c²-c解得，c＜-1或c＞2．，
∴c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．
（解法二）由（I）知f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c．，∴f'（x）=3x²-x-2．…（8分）
①当x∈[-1，-

2

3

)时，f′(x)＞0；②当x∈[-

2

3

，1)时，f′(x)＜0；
③当x∈[1，2]时，f′(x)＞0；∴当x=-

2

3

时，f(x)有极大值

22

27

+c．
而f(-1)=

1

2

+c，f(2)=2+c，…（10分）
∴当x∈[1，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2+c．
对x∈[1，2]，f(x)＜

1

x

恒成立∴2+c＜c2，
故c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-23时都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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