设f（x）=ax2+bx+c，若f（1）=72，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式x2+12≤f（x）≤2x2+2x+32对一切实数x都成立，证明你的结论．-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）=ax2+bx+c，若f（1）=72，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

设f（x）=ax²+bx+c，若f（1）=

7

2

，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式x²+

1

2

≤f（x）≤2x²+2x+

3

2

对一切实数x都成立，证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由f（1）=

7

2

，得a+b+c=

7

2

．令x²+

1

2

=2x²+2x+

3

2

?x=-1．
由f（x）≤2x²+2x+

3

2

推得f（-1）≤

3

2

，
由f（x）≥x²+

1

2

推得f（-1）≥

3

2

，
∴f（-1）=

3

2

．
∴a-b+c=

3

2

．故a+c=

5

2

且b=1．
∴f（x）=ax²+x+

5

2

-a．
依题意ax²+x+

5

2

-a≥x²+

1

2

对一切x∈R都成立，
∴a≠1且△=1-4（a-1）（2-a）≤0．
由a-1＞0得a=

3

2

．
∴f（x）=

3

2

x²+x+1．
证明如下：

3

2

x²+x+1-2x²-2x-

3

2

=-

1

2

x²-x-

1

2

=-

1

2

（x+1）²≤0．
∴

3

2

x²+x+1≤2x²+2x+

3

2

对x∈R都成立．
∴存在实数a=

3

2

，b=1，c=1，
使得不等式x²+

1

2

≤f（x）≤2x²+2x+

3

2

对一切x∈R都成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）=ax2+bx+c，若f（1）=72，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：