已知函数f（x）=a-x2x+lnx(a∈R，x∈[12，2])（1）当a∈[-2，14)时，求f（x）的最大值；（2）设g（x）=[f（x）-lnx]?x2，k是g（x）图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k≤1恒成立？若-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=a-x2x+lnx(a∈R，x∈[12，2])（1）当a∈[-2，14)时，求f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

a-x2

x

+lnx (a∈R ， x∈[

1

2

， 2])
（1）当a∈[-2，

1

4

)时，求f（x）的最大值；
（2）设g（x）=[f（x）-lnx]?x²，k是g（x）图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：河池模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当-2≤a＜

1

4

时，由f'（x）=0得x₁=

1-

1-4a

2

，x2=

1+

1-4a

2

．（2分）
显然-1≤x₁＜

1

2

，

1

2

＜x₂≤2，∴x1?[

1

2

，2]，x2∈[

1

2

，2]．
又f'（x）=-

(x-x1)(x-x2)

x2

当

1

2

≤x≤x₂时，f'（x）≥0，f（x）单调递增；
当x₂＜x≤2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，（5分）
∴f（x）_max=f（x₂）=

2a

1+

1-4a

-

1+

1-4a

2

+ln

1+

1-4a

2

=-

1-4a

+ln

1+

1-4a

2

．（6分）
（2）存在a∈(-∞，

7

4

]符合条件
因为g（x）=[f（x）-lnx]?x²=ax-x³
不妨设任意不同两点p₁（x₁，y₁），p₂（x₂，y₂），其中x₁＜x₂
则k=

y1-y2

x1-x2

=

a(x1-x2)+(

x

32

-

x

31

)

x1-x2

=a-(

x

21

+x1x2+

x

22

)（10分）
由k≤1知：a≤1+（x₁²+x₁x₂+x₂²）
又

1

4

≤

x

22

≤4故a≤

7

4

故存在a≤

7

4

符合条件．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=a-x2x+lnx(a∈R，x∈[12，2])（1）当a∈[-2，14)时，求f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：