已知函数f（x）=ax2+bx+1，a，b为实数，a≠0，x∈R，F（x）=f(x)，x＞0-f(x)，x＜0，（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[-1，1]时，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax2+bx+1，a，b为实数，a≠0，x∈R，F（x）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax²+bx+1，a，b为实数，a≠0，x∈R，F（x）=

f(x)，x＞0

-f(x)，x＜0

，
（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）+kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函数f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依题意，有

a-b+1=0

△=b2-4a=0

，
解得

a=1

b=2

，∴f（x）=x²+2x+1，
∴F(x)=

x2+2x+1，(x＞0)

-x2-2x-1，(x＜0).

（2）由（1）得g（x）=f（x）+kx=x²+2x+1+kx=x²+（k+2）x+1，
∴函数g（x）的对称轴x=-

k+2

2

，
∵g（x）在区间[-1，1]上是单调函数，
∴-

k+2

2

≤-1，或-

k+2

2

≥1．
解得 k≥0，或k≤-4．
∴实数k的取值范围为（-∞，-4]∪[0，+∞），
（3）∵f（x）=ax²+bx+1为偶函数，∴b=0，即f（x）=ax²+1（a＞0），
∴F(x)=

ax2+1，(x＞0)

-ax2-1，(x＜0).

∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，不妨设n＜0＜m，则有0＜-n＜m，
∴m-n＞0，m+n＞0．
∵F（m）+F（n）=am²+1-an²-1=a（m+n）（m-n），
∴F（m）+F（n）＞0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax2+bx+1，a，b为实数，a≠0，x∈R，F（x）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：