已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）．（1）若函数f（x）有极大值32，求实数a的值；（2）若对?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜169恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）．（1）若函数f（x）有极大值32，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）．
（1）若函数f（x）有极大值32，求实数a的值；
（2）若对?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

16

9

恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=ax（x-2）²=ax³-4ax²+4ax，
∴f′(x)=3ax2-8ax+4a=3a(x-

2

3

)(x-2)．
令f′（x）=0，解得3a(x-

2

3

)(x-2)=0，
∴x=

2

3

或x=2．
∵f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有极大值32，又f（2）=0．
∴f（x）在x=

2

3

时取得极大值，
∴f(

2

3

)=

32

27

a=32，a=27．
（2）由f′(x)=3a(x-

2

3

)(x-2)知：
当a＞0时，函数f（x）在[-2，

2

3

]上是增函数，在[

2

3

，1]上是减函数．
此时，ymax=f(

2

3

)=

32

27

a．
又对?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

16

9

恒成立．
∴

32

27

a＜

16

9

得a＜

3

2

，
∴0＜a＜

3

2

．
当a＜0时，函数f（x）在[-2，

2

3

]上是减函数，在[

2

3

，1]上是增函数．
又f（-2）=-32a，f（1）=a，
此时，y_max=f（-2）=-32a．
又对?x∈[-2，1]，不等式f(x)＜

16

9

恒成立．
∴-32a＜

16

9

得a＞-

1

18

，
∴-

1

18

＜a＜0．
故所求实数的取值范围是(-

1

18

，0)∪(0，

3

2

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）．（1）若函数f（x）有极大值32，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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