已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的最大值；（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范围；（3）求证：12+1+112+1?22+2+122+2?32+3+132+3?…?n2+-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的最大值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的最大值；
（2）已知y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，求a的取值范围；
（3）求证：

12+1+1

12+1

?

22+2+1

22+2

?

32+3+1

32+3

?…?

n2+n+1

n2+n

＜e．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R），a=1，
∴f′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

，
由f′(x)=

-x

1+x

＞0，得-1＜x＜0；由f′(x)=

-x

1+x

＜0，得x＞0；
所以y=f（x）在（-1，0）为增，在（0，+∞）为减，
所以x=0时，f（x）取最大值0．
（2）y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，
等价于a＞

ln(x+1)

x

恒成立，
设g(x)=

ln(x+1)

x

?g′(x)=

x

1+x

-ln(x+1)

x2

，
设h(x)=

x

1+x

-ln(x+1)?h′(x)=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

＜0(x≥1)，
所以h（x）是减函数，所以h(x)≤h(1)=

1

2

-ln2＜0(4＞e?2＞e

1

2

)，
所以g（x）是减函数，g_max（x）=g（1），所以a＞ln2
（3）要证

12+1+1

12+1

?

22+2+1

22+2

?

32+3+1

32+3

?…?

n2+n+1

n2+n

＜e，
只需证ln

12+1+1

12+1

+ln

22+2+1

22+2

+…+ln

n2+n+1

n2+2

＜1
只需证ln(1+

1

12+1

)+ln(1+

1

22+2

)+…+ln(1+

1

n2+n

)＜1
因为ln(1+

1

n2+n

)＜

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，
所以ln(1+

1

12+1

)+ln(1+

1

22+2

)+…+ln(1+

1

n2+n

)＜1-

1

n+1

＜1．
故

12+1+1

12+1

?

22+2+1

22+2

?

32+3+1

32+3

?…?

n2+n+1

n2+n

＜e．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R）（1）当a=1时，求f（x）在定义域上的最大值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：