已知集合A是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，对任意x∈D（D为函数的定义域）等式f(kx)=k2+f(x)恒成立．（1）一次函数f（x）=ax+b（a≠0）是否属于集合A？请说明理由．（2）设函-数学试题及答案

1、试题题目：已知集合A是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，对任意..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知集合A是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，对任意x∈D（D为函数的定义域）等式f(kx)=

k

2

+f(x)恒成立．
（1）一次函数f（x）=ax+b（a≠0）是否属于集合A？请说明理由．
（2）设函数f（x）=log_ax（a＞1）的图象与直线y=

1

2

x有公共点，试证明f（x）=log_ax∈A．

试题来源：闸北区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵一次函数f（x）=ax+b（a≠0），∴f（kx）=akx+b，而

k

2

+f（x）=ax+b+

k

2

．
显然，akx+b和 ax+b+

k

2

不可能恒成立，故一次函数f（x）=ax+b（a≠0）不属于集合A．
（2）设函数f（x）=log_ax（a＞1）的图象与直线y=

1

2

x有公共点，∴方程 log_ax=

1

2

x 有解 ①．
要使f（x）∈A，则存在常数k，使log_a（kx）=

k

2

+log_ax 成立，即方程 log_ak=

1

2

k 有解．
而由①可得方程 log_ak=

1

2

k 有解，可得f（x）=log_ax∈A．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知集合A是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，对任意..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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