已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有f(m)+f(n)m+n＞0．（1）解不等式f(x+12)＜f(1-x)；（2）若f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
（1）解不等式f(x+

1

2

)＜f(1-x)；
（2）若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）任取x₁，x₂∈[-1，1]且x₁＜x₂，则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

?(x2-x1)＞0
∴f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）为增函数
∵f(x+

1

2

)＜f(1-x)
∴

-1≤x+

1

2

≤1

-1≤1-x≤1

x+

1

2

＜1-x

∴0≤x＜

1

4

，
即不等式f(x+

1

2

)＜f(1-x)的解集为[0，

1

4

)．
（2）由于f（x）为增函数，∴f（x）的最大值为f（1）=1，
∴f（x）≤t²-2at+1对x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，等价于t²-2at+1≥1对任意的a∈[-1，1]恒成立，
即t²-2at≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．
把y=t²-2at看作a的函数，由于a∈[-1，1]知其图象是一条线段．
∵t²-2at≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立
∴

t2-2×(-1)×t≥0

t2-2×1×t≥0

∴

t2+2t≥0

t2-2t≥0

解得t≤-2或t=0或t≥2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：