已知函数f（x）=agx，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，函数y=f（x）在其图象和与坐标轴的交点处的切线为l1，函数y=g（x）在其图象与坐标轴的交点处的切线为l2，l1平行于l2．（1）求函数y=-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=agx，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，函数y=f（x）在其图..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ag^x，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，函数y=f（x）在其图象和与坐标轴的交点处的切线为l₁，函数y=g（x）在其图象与坐标轴的交点处的切线为l₂，l₁平行于l₂．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）若关于x的不等式

x-m

g(x)

＞

x

恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′(x)=aex，g′(x)=

1

x

．
y=f（x）的图象与坐标轴交于点（0，a）；y=g（x）的图象与坐标轴交于点（a，0），
∴f′（0）=g′（a）．
∴a=

1

a

．
∵a＞0，∴a=1
∴g（x）=lnx．
（2）①当x＞1时，由

x-m

lnx

＞

x

得 m＜x-

x

lnx恒成立．
令 φ(x)=x-

x

lnx，则 φ′(x)=

2

x

-2-lnx

2

x

．
令 h(x)=2

x

-2-lnx，则 h′(x)=

1

x

(1-

1

x

)＞0，
∴h（x）在[1，+∞）上递增．
∴?x＞1，h（x）＞h（1）=0．
∴φ′（x）＞0．
∴φ（x）在[1，+∞）上递增．
∴m≤φ（1）=1．
②当0＜x＜1时，由

x-m

lnx

＞

x

得 m＞x-

x

lnx即m＞φ（x）恒成立．
同①可得φ（x）在（0，1]上递减．
∴m≥φ（1）=1．
综合①②得m=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=agx，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，函数y=f（x）在其图..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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