（附加题）已知f（x）是定义在R上单调函数，对任意实数m，n有：f（m+n）=f（m）?f（n）；且x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）证明：f（0）=1；（2）证明：当x＜0时，f（x）＞1；（3）当f(4)=116时，求使f(x2-1)?f-数学试题及答案

1、试题题目：（附加题）已知f（x）是定义在R上单调函数，对任意实数m，n有：f（m+n）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

（附加题）已知f（x）是定义在R上单调函数，对任意实数m，n有：f（m+n）=f（m）?f（n）；且x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）证明：f（0）=1；
（2）证明：当x＜0时，f（x）＞1；
（3）当f(4)=

1

16

时，求使f(x2-1)?f(a-2x)≤

1

4

对任意实数x恒成立的参数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）在f（m+n）=f（m）?f（n）中，
取m＞0，n=0，
有f（m）=f（m）?f（0），
∵x＞0时，0＜f（x）＜1，
∴f（0）=1 …（2分）
（2）设m=x＜0，n=-x＞0，
则0＜f（-x）＜1，
∴f（m+n）=f（0）=f（x）?f（-x）=1
∴f（x）=

1

f(-x)?

＞1，
即x＜0时，f（x）＞1 …（5分）
（3）∵f（x）是定义在R上单调函数，
又f（0）=1＞f(4)=

1

16

∴f（x）是定义域R上的单调递减函数 …（6分）
f(4)=f2(2)=

1

16

，且由已知f（2）＞0，
∴f（2）=

1

4

…（7分）
∴原不等式变为f[(x2-1)+(a-2x)]≤

1

4

，
即f（x²-2x+a-1）≤f（2）…（8分）
∴f（x）是定义域R上的单调递减函数可得，
x²-2x+a-1≥2对任意实数x恒成立
即x²-2x+a-3≥0对任意实数x恒成立
∴△=4-4（a-3）≤0，
∴a≥4 …（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（附加题）已知f（x）是定义在R上单调函数，对任意实数m，n有：f（m+n）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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