已知|m|＜1，直线l1：y=mx+1，l2：x=-my+1，l1与l2相交于点P，l1交y轴于点A，l2交x轴于点B（1）证明：l1⊥l2；（2）用m表示四边形OAPB的面积S，并求出S的最大值；（3）设S=f（m），求U=S+-数学试题及答案

1、试题题目：已知|m|＜1，直线l1：y=mx+1，l2：x=-my+1，l1与l2相交于点P，l1交y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知|m|＜1，直线l₁：y=mx+1，l₂：x=-my+1，l₁与l₂相交于点P，l₁交y轴于点A，l₂交x轴于点B
（1）证明：l₁⊥l₂；
（2）用m表示四边形OAPB的面积S，并求出S的最大值；
（3）设S=f （m），求U=S+

1

S

的单调区间．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意知，m≠0，l₁与l₂的斜率分别为 m，

1

-m

，斜率之积等于-1，故l₁⊥l₂．
（2）由题意知，A（0，1），B（1，0），AB=

2

，四边形OAPB为圆内接四边形（有一组对角互补且都是直角），
把l₁与l₂相的方程联立方程组可解得点P（

1-m

1+m2

，

1+m

1+m2

），AB 的方程为x+y-1=0，
点P到 AB 的距离为

|

1-m

1+m2

+

1+m

1+m2

-1|

2

=

1-m2

2

(1+m2)

，
由四边形OAPB的面积S等于两个直角三角形OAB和APB的面积之和，
∴S=

1

2

×1×1+

1

2

×

2

×

1-m2

2

(1+m2)

=

1

2

+

1-m2

2(1+m2)

=

1

1+m2

，
故 m=0 时，S有最大值为 1．
（3）U=S+

1

S

=

1

1+m2

+（1+m²），|m|＜1，U的导数U^′=

-2m

1+m2

+2m=2m（1-

1

1+m2

）＞0，
∴U 在其定义域（-1，1）内是单调增函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知|m|＜1，直线l1：y=mx+1，l2：x=-my+1，l1与l2相交于点P，l1交y..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：