已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．（1）确定函数f（x）的解析式；（2）判断并证明f（x）在（-1，1）的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）在（-1，1）的单调性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
∴

-ax+b

1+x2

=-

ax+b

1+x2

，即

2b

1+x2

=0，
∴b=0，
又f(

1

2

)=

2

5

，代入函数得a=1．
∴f(x)=

x

1+x2

．
（2）f（x）在（-1，1）上是增函数．
证明：在（-1，1）上任取两个值x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

x1

1+

x

21

-

x2

1+

x

22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+

x

21

)(1+

x

22

)

∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴-1＜x₁x₂＜1；
∴1-x₁x₂＞0，又x1-x2＜0，1+

x

21

＞0，1+

x

22

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是增函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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