设a为非负实数，函数f（x）=x|x-a|-a．（Ⅰ）当a=2时，求函数的单调区间；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的零点个数，并求出零点．-数学试题及答案

1、试题题目：设a为非负实数，函数f（x）=x|x-a|-a．（Ⅰ）当a=2时，求函数的单调区间..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

设a为非负实数，函数f（x）=x|x-a|-a．
（Ⅰ）当a=2时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的零点个数，并求出零点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=2时，f(x)=x|x-2|-2=

x2-2x-2，x≥2

-x2+2x-2，x＜2

，①当x≥2时，f（x）=x²-2x-2=（x-1）²-3，
∴f（x）在（2，+∞）上单调递增；
②当x＜2时，f（x）=-x²+2x-2=-（x-1）²-1，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，在（-∞，1）上单调递增；
综上所述，f（x）的单调递增区间是（-∞，1）和（2，+∞），单调递减区间是（1，2）．
（Ⅱ）（1）当a=0时，f（x）=x|x|，函数y=f（x）的零点为x₀=0；
（2）当a＞0时，f(x)=x|x-a|-a=

x2-ax-a，x≥a

-x2+ax-a，x＜a

，
故当x≥a时，f(x)=(x-

a

2

)2-

a2

4

-a，二次函数对称轴x=

a

2

＜a，
∴f（x）在（a，+∞）上单调递增，f（a）＜0；
当x＜a时，f(x)=-(x-

a

2

)2+

a2

4

-a，二次函数对称轴x=

a

2

＜a，
∴f（x）在(

a

2

，a)上单调递减，在(-∞，

a

2

)上单调递增；
∴f（x）的极大值为f(

a

2

)=-(

a

2

)2+a×

a

2

-a=

a2

4

-a，
1°当f(

a

2

)＜0，即0＜a＜4时，函数f（x）与x轴只有唯一交点，即唯一零点，
由x²-ax-a=0解之得函数y=f（x）的零点为x0=

a+

a2+4a

2

或x0=

a-

a2+4a

2

（舍去）；
2°当f(

a

2

)=0，即a=4时，函数f（x）与x轴有两个交点，即两个零点，分别为x₁=2和x2=

a+

a2+4a

2

=2+2

2

；
3°当f(

a

2

)＞0，即a＞4时，函数f（x）与x轴有三个交点，即有三个零点，
由-x²+ax-a=0解得，x=

a±

a2-4a

2

，
∴函数y=f（x）的零点为x=

a±

a2-4a

2

和x0=

a+

a2+4a

2

．
综上可得，当a=0时，函数的零点为0；
当0＜a＜4时，函数有一个零点，且零点为

a+

a2+4a

2

；
当a=4时，有两个零点2和2+2

2

；
当a＞4时，函数有三个零点

a±

a2-4a

2

和

a+

a2+4a

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a为非负实数，函数f（x）=x|x-a|-a．（Ⅰ）当a=2时，求函数的单调区间..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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