设函数f（x）的定义域为[-1，1]，f[cos(α+π30)]=tcos(2α+π15)+sin(α+π5)+cos(α+11π30)（1）若f（0）=-1，求t的值和f（x）的零点；（2）记h（t），g（t）分别是f（x）的最大值、最小值，求函数-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）的定义域为[-1，1]，f[cos(α+π30)]=tcos(2α+π15)+sin(..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

设函数f（x）的定义域为[-1，1]，f[cos(α+

π

30

)]=tcos(2α+

π

15

)+sin(α+

π

5

)+cos(α+

11π

30

)
（1）若f（0）=-1，求t的值和f（x）的零点；
（2）记h（t），g（t）分别是f（x）的最大值、最小值，求函数F（t）=h（t）-g（t）的解析式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令α=

7π

15

∴f（cos

π

2

）=tcosπ+sin（

2

3

π）+cos（

5

6

π）=-t=-1
∴t=1
∴f[cos（α+

π

30

）]=cos（2a+

π

15

）+sin（α+

π

5

）+cos（a+

11π

30

）
=cos2（a+

π

30

）+sin[（a+

π

30

）+

π

6

]+cos[（a+

π

30

）+

π

3

]
=2cos²（a+

π

30

）+cos（a+

π

30

）-1
令x=cos（a+

π

30

）
∴f（x）=2x²+x-1
∵-1≤x≤1
∴x₁=-1 x₂=

1

2

（2）f[cos（α+

π

30

）]=tcos（2a+

π

15

）+sin（α+

π

5

）+cos（a+

11π

30

）
=tcos2（a+

π

30

）+sin[（a+

π

30

）+

π

6

]+cos[（a+

π

30

）+

π

3

]
=2tcos²（a+

π

30

）+cos（a+

π

30

）-t
令x=cos（a+

π

30

）
∴f（x）=2tx²+x-t x∈[-1，1]，
当t＞0时，函数f（x）开口向上
-

1

4t

≤-1时即0＜t≤

1

4

，函数在[-1，1]上为增函数，最大值为h（t）=t+1，最小值为g（t）=t-1
-1＜-

1

4t

＜1时即t＞

1

4

，函数在[-1，-

1

4t

]上为减函数，在[-

1

4t

，1]上为增函数，最大值为h（t）=t+1，最小值为g（t）=

-8t2-1

8t

当t=0时，函数在[-1，1]上为增函数，最大值为h（t）=1，最小值为g（t）=-1
当t＜0时，函数f（x）开口向下
-1＜-

1

4t

＜1时即t＜-

1

4

，函数在[-1，-

1

4t

]上为增函数，在[-

1

4t

，1]上为减函数，最大值为h（t）=

-8t2-1

8t

，最小值为g（t）=t-1
-

1

4t

≥1时即0＞t≥-

1

4

，函数在[-1，1]上为减函数，最大值为h（t）=t-1，最小值为g（t）=t+1
∴F（t）=h（t）-g（t）=

2t+

1

8t

+1 ，t＞

1

4

2 ， 0≤t≤

1

4

-2 ，-

1

4

≤ t＜0

-2t-

1

8t

-1 ，t＜-

1

4

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）的定义域为[-1，1]，f[cos(α+π30)]=tcos(2α+π15)+sin(..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：