已知函数f(x)=ax+1x(a＞0)（1）当a=1时，利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，1]内是单调减函数；（2）当x∈（0，+∞）时f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ax+1x(a＞0)（1）当a=1时，利用函数单调性的定义..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=ax+

1

x

(a＞0)
（1）当a=1时，利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，1]内是单调减函数；
（2）当x∈（0，+∞）时f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）任意取x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂．
f(x1)-f(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)=(x1-x2)

x1x2-1

x1x2

因为x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0
0＜x₁x₂＜1，所以x₁x₂-1＜0
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（ 0，1]上是单调减函数．
（2）∵x∈（0，+∞），f（x）=ax+

1

x

=

ax2+1

x

≥1恒成立，
等价于当x∈（0，+∞）时ax²-x+1≥0恒成立即可，
∴a≥

x-1

x2

在x∈（0，+∞）恒成立又

1

x

∈（0，+∞），
令g（x）=

x-1

x2

=-（

1

x

）²+

1

x

=-（

1

x

-

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

∴a≥

1

4

故a的取值范围[

1

4

，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ax+1x(a＞0)（1）当a=1时，利用函数单调性的定义..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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