直线l：y=mx+1，双曲线C：3x2-y2=1，问是否存在m的值，使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．-数学试题及答案

1、试题题目：直线l：y=mx+1，双曲线C：3x2-y2=1，问是否存在m的值，使l与C相交于..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-03 07:30:00

试题原文

直线l：y=mx+1，双曲线C：3x²-y²=1，问是否存在m的值，使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆的标准方程与一般方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

假设存在m值满足条件，
设A、B坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂），
由

y=mx+1

3x2-y2=1

得：（3-m²）x²-2mx-2=0，
则3-m²≠0，且△=4m²-4（3-m²）（-2）＞0，得m²＜6且m²≠3①，
由韦达定理有：x1+x2=

2m

3-m2

，x1x2=

-2

3-m2

，
因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，即

OA

?

OB

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以x₁x₂+（mx₁+1）（mx₂+1）=0，即（1+m²）x₁x₂+m（x₁+x₂）+1=0，
所以（1+m²）?

-2

3-m2

+m?

2m

3-m2

+1=0，解得m=±1，
故存在m=1或m=-1使l与C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“直线l：y=mx+1，双曲线C：3x2-y2=1，问是否存在m的值，使l与C相交于..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆的标准方程与一般方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆的标准方程与一般方程”。

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