数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，n?an+1=（n+2）Sn（n=1，2，3…）．（1）证明数列{Snn}是公比为2的等比数列；（2）求Sn关于n的表达式．（3）请猜测是否存在自然数N0，对于所有的n＞N0-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，n?an+1=（n+2）Sn（n=1，2，3…..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁=1，n?a_n+1=（n+2）S_n（n=1，2，3…）．
（1）证明数列{

Sn

n

}是公比为2的等比数列；
（2）求S_n关于n的表达式．
（3）请猜测是否存在自然数N₀，对于所有的n＞N₀有S_n＞2007恒成立，并证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵a_n+1=S_n+1-S_n，
由已知a_n+1=

n+2

n

S_n，∴

n+2

n

S_n=S_n+1-S_n，
（n+2）S_n=nS_n+1-nS_n，2（n+1）S_n=nS_n+1，

Sn+1

n+1

=2

Sn

n

．又

S1

1

=

a1

1

=1，
∴{

Sn

n

}是以1为首项，2为公比的等比数列
（2）∵

Sn

n

=1?2^n-1=2^n-1，∴S_n=n?2^n-1．
（3）猜测：存在N₀=8，当n＞8时有S_n＞2007恒成立
∵

Sn+1

Sn

=

(n+1)?2n

n?2n-1

=

2(n+1)

n

＞1，
∴{S_n}为递增数列，
∴存在N₀=8，对所有n＞N₀有S_n＞2007恒成立

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，n?an+1=（n+2）Sn（n=1，2，3…..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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