在数列{an}中，a1=1，an+an+1=3n．设bn=an-14×3n（1）求证：数列{bn}是等比数列（2）求数列{an}的前n项的和（3）设T2n=1a1+1a2+1a3+1a4…+1a2n，求证：T2n＜3．-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=1，an+an+1=3n．设bn=an-14×3n（1）求证：数列{bn}..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=3ⁿ．设bn=an-

1

4

×3n
（1）求证：数列{b_n}是等比数列
（2）求数列{a_n}的前n项的和
（3）设T2n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

…+

1

a2n

，求证：T_2n＜3．

试题来源：南京三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）由a₁=1，a_n+a_n+1=3ⁿ，
得an+1=

1

4

×3n+1=-(an-

1

4

×3n)，
即bn+1=-bn?b1=a1-

3

4

=

1

4

．
∴数列{b_n}是首项为

1

4

，公比为-1的等比数列．
（2）由bn=

1

4

×(-1)n-1，
得an-

1

4

× 3n =

1

4

×(-1)n-1，
an=

1

4

×3n+

1

4

×(-1)n-1=

1

4

×[3n+(-1) n-1]
S_n=[3+3²+3³+…+3ⁿ+（-1）⁰+（-1）¹+（-1）¹+（-1）²+…+（-1）^n-1]
=

1

4

[

3n+1-3

2

+

1+(-1)n+1

2

]．
证明：（3）T2n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2n-1

+

1

a2n

=4(

1

3+1

+

1

3 2-1

+

1

3 3+1

+

1

3 4-1

…+

1

3 2n-1+1

+

1

3 2n-1

)
=4[(

1

3+1

+

1

3 3+1

+…+

1

3 2n-1+1

)+(

1

3 2-1

+

1

3 4-1

+…+

1

3 2n-1

)]
＜4[(

1

3

+

1

3 3

+…+

1

3 2n-1

)+(

1

3 2-1

+

1

3 4-1

+…+

1

3 2n-1

)]
∵3²ⁿ-1＞3^2n-1，（n∈N^*），
∴

1

3 2n-1

＜

1

3 2n-1

，(n∈N*)，
∴T2n＜8(

1

3

+

1

3 2

+…+

1

3 2n-1

)
=8×

1

3

(1-

1

9n

)

1-

1

9

=3（1-

1

9n

）＜3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=1，an+an+1=3n．设bn=an-14×3n（1）求证：数列{bn}..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：