已知数列{an}，a1=3，an+1=4an-3（Ⅰ）设bn=1og2（an-1），求数列{bn}的前n项和Sn（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：1S1+1S2+…+1Sn＞nn+1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}，a1=3，an+1=4an-3（Ⅰ）设bn=1og2（an-1），求数列{bn}..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}，a₁=3，a_n+1=4a_n-3
（Ⅰ）设b_n=1og₂（a_n-1），求数列{b_n}的前n项和S_n
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＞

n

n+1

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵a_n+1=4a_n-3，∴a_n+1-1=4（a_n-1）
∵a₁=3，∴a₁-1=2，
∴{a_n-1}是以2为首项，4为公比的等比数列
∴a_n-1=2×4^n-1=2^2n-1，
∵b_n=1og₂（a_n-1），∴b_n=2n-1，
∴数列{b_n}是以1为首项，2为公差的等差数列
∴S_n=

n(1+2n-1)

2

=n²；
（Ⅱ）证明：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＞

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＞

n

n+1

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}，a1=3，an+1=4an-3（Ⅰ）设bn=1og2（an-1），求数列{bn}..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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