在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求二面角-数学试题及答案

1、试题题目：在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-29 07:30:00

试题原文

在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求二面角E-BC-A的余弦；
（3）求多面体ABCDE的体积．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：空间中直线与平面的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

方法一：（1）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，
取AC中点O，连接BO，DO，
则BO⊥AC，DO⊥AC∵平面ACD⊥平面ABC
∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，
那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，
∴∠EBF=60°，易求得EF=DO=

3

所以四边形DEFO是平行四边形，DE∥OF；∵DE?平面ABC，OF?平面ABC，∴DE∥平面ABC
（2）作FG⊥BC，垂足为G，连接FG；
魔方格

∵EF⊥平面ABC，根据三垂线定理可知，EG⊥BC，
∴∠EGF就是二面角E-BC-A的平面角，
∵FG-BF?sin∠FBG-

1

2

EF=

3

，
∴EG=

EF2-FG2

=

13

2

，
∴cos∠EGF=

FG

EG

=

13

即二面角E-BC-A的余弦值为

13

．
（3）∵平面ACD⊥平面ABC，OB⊥AC∴OB⊥平面ACD；
又∵DE∥OB∴DE⊥平面DAC，
∴三棱锥E-DAC的体积V1=

1

3

S△BAC?DE=

1

3

?

3

?(

3

-1)=

3-

3

，
又三棱锥E-ABC的体积V2=

1

3

S△ABC?EF=

1

3

?

3

?

3

=1，
∴多面体DE-ABC的体积为V=V₁+V₂=

6-

3

，
方法二：（1）同方法一
魔方格

（2）建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
可求得平面ABC的一个法向量为

n1

(0，0，1)，
平面BCE的一个法向量为

n2

(-3，

3

，1)，
所以cos＜

n1

，

n2

＞

n1

?

n2

|

n1

|?|

n2

|

=

13

，
又由图知，所求二面角的平面角是锐角，
所以二面角E-BC-A的余弦值为

13

．
（3）同方法一

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE..”的主要目的是检查您对于考点“高中空间中直线与平面的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中空间中直线与平面的位置关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：