如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面EFH；（Ⅱ）求证：PD⊥平面AHF；（Ⅲ）求二面角H-EF-A的大小．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-29 07:30:00

试题原文

如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面EFH；
（Ⅱ）求证：PD⊥平面AHF；
（Ⅲ）求二面角H-EF-A的大小．

试题来源：怀柔区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：空间中直线与平面的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解法一：
（Ⅰ）证明：∵E，H分别是线段PA，AB的中点，
∴EH∥PB．
又∵EH?平面EFH，PB?平面EFH，
∴PB∥平面EFH．

（Ⅱ）∵F为PD的中点，且PA=AD，∴PD⊥AF，
又∵PA⊥底面ABCD，BA?底面ABCD，∴AB⊥PA．
又∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥AD．
又∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD．
又∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AF=A，∴PD⊥平面AHF．

（Ⅲ）∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD，
∵AD?平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB，
∵E，F分别是线段PA，PD的中点，∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB．
∵EH?平面PAB，EA?平面PAB，∴EF⊥EH，∴EF⊥EA，
∴∠HEA就是二面角H-EF-A的平面角．
在Rt△HAE中，AE=

1

2

PA=1，AH=

1

2

AB=1，∴∠AEH=45°，
所以二面角H-EF-A的大小为45°．

魔方格

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），H（1，0，0）．
（Ⅰ）证明：∵

PB

=(2，0，-2)，

EH

=(1，0，-1)，
∴

PB

=2

EH

，
∵PB?平面EFH，且EH?平面EFH，
∴PB∥平面EFH．

（Ⅱ）

PD

=(0，2，-2)，

AH

=(1，0，0)，

AF

=(0，1，1)，

PD

?

AF

=0×0+2×1+(-2)×1=0，

PD

?

AH

=0×1+2×0+(-2)×0=0．
∴PD⊥AF，PD⊥AH，
又∵AF∩AH=A，∴PD⊥平面AHF．

（Ⅲ）设平面HEF的法向量为

n

=(x，y，z)，
因为

EF

=(0，1，0)，

EH

=(1，0，-1)，
则

n

?

EF

=y=0

n

?

EH

=x-z=0

取

n

=(1，0，1)．
又因为平面AEF的法向量为

m

=(1，0，0)，
所以cos＜

m，

n

＞=

m

?

n

|

m

||

n

|

=

1+0+0

2

×1

=

1

2

=

2

，
∴＜

m，

n

＞=45°，
所以二面角H-EF-A的大小为45°．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2..”的主要目的是检查您对于考点“高中空间中直线与平面的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中空间中直线与平面的位置关系”。

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