已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1=11，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标-数学试题及答案

1、试题题目：已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1=11，并且矩阵M..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-26 07:30:00

试题原文

已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1=

1

，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e₂的坐标之间的关系．
（3）求直线l：x-y+1=0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．

试题来源：连云港二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：矩阵与变换

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设M=

a	b
c	d

，则

a	b
c	d

1

=8

1

=

8

，
故

a+b=8

c+d=8.

a	b
c	d

-1

2

=

-2

4

，
故

-a+2b=-2

-c+2d=4.

联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，
故M=

6	2
4	4

．
（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ²-10λ+16，
故其另一个特征值为λ=2．
设矩阵M的另一个特征向量是e₂=

x

y

，
则M e₂=

6x+2y

4x+4y

=2

x

y

，
解得2x+y=0．
（3）设点（x，y）是直线l上的任一点，
其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），
则

6	2
4	4

x

y

=

x′

y′

，
即x=

1

4

x′-

1

8

y′，y=-

1

4

x′+

3

8

y′，
代入直线l的方程后并化简得x′-y′+2=0，
即x-y+2=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1=11，并且矩阵M..”的主要目的是检查您对于考点“高中矩阵与变换”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中矩阵与变换”。

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