已知曲线C：xy=1（1）将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；（2）求曲线C的焦点坐标和渐近线方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知曲线C：xy=1（1）将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-26 07:30:00

试题原文

已知曲线C：xy=1
（1）将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C^′的方程；
（2）求曲线C的焦点坐标和渐近线方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：矩阵与变换

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（1）由题设条件，M=

cos45°	-sin45°
sin45°	cos45°

=

2

-

2

，
T_M：

x
y

→

x′
y′

=

2

-

2

x
y

=

2

x

-

2

x

2

+

2

，即有

x′=

2

x-

2

y

y′=

2

x+

2

y

，
解得

x=

2

(x′+y′)

y=

2

(y′-x′)

，代入曲线C的方程为y′²-x′²=2．
所以将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，得到的曲线是y²-x²=2．…（5分）
（2）由（1）知，只须把曲线y²-x²=2的焦点、渐近线绕坐标原点顺时针旋转45°后，即可得到曲线C的焦点坐标和渐近线方程．
曲线y²-x²=2的焦点坐标是（0，-2），（0，2），渐近线方程x±y=0，
变换矩阵N=

cos(-45°)	-sin(-45°)
sin(-45°)	cos(-45°)

=

2

-

2

，

2

-

2

0
-2

=

-

2

-

2

，

2

-

2

0
2

=

2

，
即曲线C的焦点坐标是（-

2

，-

2

），（

2

，

2

）．而把直线x±y=0要原点顺时针旋转45°恰为y轴与x轴，因此曲线C的渐近线方程为x=0和y=0．…（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知曲线C：xy=1（1）将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲..”的主要目的是检查您对于考点“高中矩阵与变换”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中矩阵与变换”。

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