已知二阶矩阵A有特征值λ1=1及对应的一个特征向量e1=11和特征值λ2=2及对应的一个特征向量e2=10，试求矩阵A及其逆矩阵A-1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知二阶矩阵A有特征值λ1=1及对应的一个特征向量e1=11和特征值λ2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-26 07:30:00

试题原文

已知二阶矩阵A有特征值λ₁=1及对应的一个特征向量e1=

1

和特征值λ₂=2及对应的一个特征向量e2=

1

0

，试求矩阵A及其逆矩阵A^-1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：矩阵与变换

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设矩阵A=

ab

cd

，这里a，b，c，d∈R，
因为

1

是矩阵A的属于λ₁=1的特征向量，则有

1-a-b

-c1-d

1

=

0

①，
又因为

1

0

是矩阵A的属于λ₂=2的特征向量，则有

2-a-b

-c1-d

1

0

=

0

②，
根据①②，则有

1-a-b=0

-c+1-d=0

2-a=0

-c=0

从而a=2，b=-1，c=0，d=1，因此A=

2-1

01

，（6分）
根据题意

1

，

1

0

分别是矩阵A^-1属于特征值1，

1

2

的特征向量，
不妨设A-1=

ef

gh

，则有

ef

gh

2-1

01

=

-2e-e+f

2g-g+h

=

10

01

，
则得

1-e-f=0

-g+1-h=0

1

2

-e=0

-g=0

从而e=

1

2

，f=

1

2

，g=0 ，h=1，因此A-1=

1

2

1

2

01

．（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二阶矩阵A有特征值λ1=1及对应的一个特征向量e1=11和特征值λ2..”的主要目的是检查您对于考点“高中矩阵与变换”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中矩阵与变换”。

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