己知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，向量m=（a2+b2-c2，ab），n=（sinC，-cosC），且m⊥n．（I）求角C的大小；（II）当c=1时，求a2+b2的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：己知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，向量m=（a2+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-11 07:30:00

试题原文

己知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，向量

m

=（a²+b²-c²，ab），

n

=（sinC，-cosC），且

m

⊥

n

．
（I）求角C的大小；
（II）当c=1时，求a²+b²的取值范围．

试题来源：马鞍山二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：正弦定理

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由

m

⊥

n

得：（a²+b²-c²）sinC-ab?cosC=0，…（2分）
结合余弦定理得：sinC=

1

2

，∴C=30°（∵C是锐角）．…（5分）
（Ⅱ）由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

1

sin30°

=2，…（7分）
∴a=2sinA，b=2sinB=sin（150°-A）=2sin（A+30°）．
∴a²+b²=4sin²A+4 sin²（A+30°）=2（1-cos2A）+2[1-2cos（2A+60°）]=4-2cos2A-2cos60°cos2A+2sin60°sin2A
=4cos2A-cos2A+

3

sin2A=4+

3

sin2A-3cos2A=4+2

3

sin（2A-60°）．…（10分）
∵△ABC是锐角三角形，由0°＜A＜90°及 0°＜B=150°-A＜90°，得：60°＜A＜90°，120°＜2A＜180°，
从而 60°＜2A-60°＜120°，

3

2

＜sin（ 2A-60°）≤1，3＜2

3

sin（ 2A-60°）≤2

3

，故7＜4+2

3

sin（2A-60°）≤4+2

3

，
即a²+b²的取值范围是（7，4+2

3

）．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“己知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，向量m=（a2+..”的主要目的是检查您对于考点“高中正弦定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中正弦定理”。

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