设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x2=2py（p≠0）的异于原点的交点（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标（2）若点P（a，b）（-数学试题及答案

1、试题题目：设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x²=2py（p≠0）的异于原点的交点
（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标
（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆

x2

4

+y²=1上，p=

1

2ab

，
求证：点Q落在双曲线4x²-4y²=1上
（3）若动点P（a，b）满足ab≠0，p=

1

2ab

，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．

试题来源：上海试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=1，b=2，p=2时，
解方程组

x2=4y

y=2x

得

x=8

y=16

即点Q的坐标为（8，16）（3分）
（2）证明：由方程组

x2=

1

ab

y

y=bx

得

x=

1

a

y=

b

a

即点Q的坐标为(

1

a

，

b

a

)（5分）
∵P时椭圆上的点，即

a2

4

+b2=1
∴4(

1

a

)2-4(

b

a

)2=

4

a2

(1-b2)=1，
因此点Q落在双曲线4x²-4y²=1上（8分）
（3）设Q所在的抛物线方程为y²=2q（x-c），q≠0（10分）
将Q(

1

a

，

b

a

)代入方程，得

b2

a2

=2q(

1

a

-c)，即b²=2qa-2qca²（12分）
当c=0时，b²=2qa，此时点P的轨迹落在抛物线上；
当qc=

1

2

时，(a-

1

2c

)2+b2=

1

4c2

，此时点P的轨迹落在圆上；
当qc＞0且qc≠

1

2

时，

(a-

1

2c

)2

1

4c2

+

b2

q

2c

=1，此时点P的轨迹落在椭圆上；
当qc＜0时

(a-

1

2c

)2

1

4c2

-

b2

(-

q

2c

)

=1，此时点P的轨迹落在双曲线上；（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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