已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右焦点到直线x-y+22=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率为k（k≠0），且过定点Q(0，32)的直线l，使l与-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右焦点到直线x-y+2

2

=0的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率为k（k≠0），且过定点Q(0，

3

2

)的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

试题来源：南充一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，由已知得b=1．
设右焦点为（c，0），由题意得

c+2

2

=3，∴c=

2

，
∴a²=b²+c²=3．
∴椭圆的方程为

x2

3

+y2=1．
（2）直线l的方程y=kx+

3

2

，代入椭圆方程，得
（1+3k²）x²+9kx+

15

4

=0．
由△=81k²-15（1+3k²）＞0得k2＞

5

12

，
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=

-9k

1+3k2

，
设M、N的中点为P，则点P的坐标为(

-9k

2+6k2

，

3

2+6k2

)．
∵|BM|=|BN|，∴点B在线段MN的中垂线上．
kBP=-

1

k

=

3

2+6k2

+1

-9k

2+6k2

，化简，得k2=

2

3

．
∵

2

3

＞

5

12

，∴k=±

6

3

，
所以，存在直线l满足题意，直线l的方程为

6

3

x-y+

3

2

=0或

6

3

x+y-

3

2

=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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