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1、试题题目:若给定椭圆C:ax2+by2=1(a>0,b>0,a≠b)和点N(x0,y0..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-01-05 07:30:00

试题原文

若给定椭圆C:ax2+by2=1(a>0,b>0,a≠b)和点N(x0,y0),则称直线l:ax0x+by0y=1为椭圆C的“伴随直线”.
(1)若N(x0,y0)在椭圆C上,判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系(当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时,分别称直线与椭圆相离、相切、相交),并说明理由;
(2)命题:“若点N(x0,y0)在椭圆C的外部,则直线l与椭圆C必相交.”写出这个命题的逆命题,判断此逆命题的真假,说明理由;
(3)若N(x0,y0)在椭圆C的内部,过N点任意作一条直线,交椭圆C于A、B,交l于M点(异于A、B),设
MA
=λ1
AN
MB
=λ2
BN
,问λ12是否为定值?说明理由.

  试题来源:不详   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:圆锥曲线综合



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
(1)
ax2+by2=1
ax0x+by0y=1
?(aby02+a2x02)x2-2ax0x+1-by02=0

即ax2-2ax0x+ax02=0
∴△=4a2x02-4a2x02=0
∴l与椭圆C相切.
(2)逆命题:若直线l:ax0x+by0y=1与椭圆C相交,则点N(x0,y0)在椭圆C的外部.
是真命题.联立方程得(aby02+a2x02)x2-2ax0x+1-by02=0
则△=4a2x02-4a(by02+ax02)(1-by02)>0
∴ax02-by02+b2y04-ax02+abx02y02>0
∴by02+ax02>1
∴N(x0,y0)在椭圆C的外部.
(3)同理可得此时l与椭圆相离,设M(x1,y1),A(x,y)
x=
x1+λ1x0
1+λ1
y=
y1+λ1y0
1+λ1
代入椭圆C:ax2+by2=1,利用M在l上,
即ax0x1+by0y1=1,整理得(ax02+by02-1)λ12+ax12+by12-1=0
同理得关于λ2的方程,类似.
即λ1、λ2是(ax02+by02-1)λ2+ax12+by12-1=0的两根
∴λ12=0.
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“若给定椭圆C:ax2+by2=1(a>0,b>0,a≠b)和点N(x0,y0..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中圆锥曲线综合”。


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