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1、试题题目：已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f(x)＝x3－x2＋ax．（Ⅰ）当a＝2时，求f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f (x)＝x3－x2＋ax．
（Ⅰ） 当a＝2时，求f (x)的极小值；
（Ⅱ）若函数g(x)＝x3＋bx2－(2b＋4)x＋ln x (b∈R)的极小值点与f (x)的极小值点相同．
求证：g(x)的极大值小于等于．

  试题来源：浙江省模拟题   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：函数的极值与导数的关系



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
解：(Ⅰ) 解: 当a＝2时，f ′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．        
列表如下：

所以，f (x)极小值为f (2)＝．
(Ⅱ) 解：f ′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)．
g ′(x)＝3x2＋2bx－(2b＋4)＋＝．
令p(x)＝3x2＋(2b＋3)x－1，  
(1) 当 1＜a≤2时，f (x)的极小值点x＝a，
则g(x)的极小值点也为x＝a，
所以p(a)＝0，即3a2＋(2b＋3)a－1＝0，即b＝，
此时g(x)极大值＝g(1)＝1＋b－(2b＋4)＝－3－b＝－3＋ ＝．
由于1＜a≤2，故 ≤2－－＝
(2) 当0＜a＜1时，f (x)的极小值点x＝1，则g(x)的极小值点为x＝1，
由于p(x)＝0有一正一负两实根，不妨设x2＜0＜x1，所以0＜x1＜1，
即p(1)＝3＋2b＋3－1＞0，故b＞－．
此时g(x)的极大值点x＝x1，
有 g(x1)＝x13＋bx12－(2b＋4)x1＋lnx1＜1＋bx12－(2b＋4)x1
＝(x12－2x1)b－4x1＋1  (x12－2x1＜0)＜－(x12－2x1)－4x1＋1
＝－x12＋x1＋1＝－(x1－)2＋1＋   (0＜x1＜1)≤＜．
综上所述，g(x)的极大值小于等于． 
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f(x)＝x3－x2＋ax．（Ⅰ）当a＝2时，求f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。


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