发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-15 07:30:00
试题原文 |
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解:(1)由f(x)=x3-x2+bx+c,得f(0)=c,f ′(x)=x2-ax+b,f ′(0)=b, 又由曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1,得f(0)=1,f ′(0)=0,故b=0,c=1. (2)f(x)=x3-x2+1,f ′(x)=x2-ax,由于点(t,f(t))处的切线方程为y-f(t)=f ′(t)(x-t), 而点(0,2)在切线上,所以2-f(t)=f ′(t)(-t),化简得t3-t2+1=0, 即t满足的方程为t3-t2+1=0, 下面用反证法证明:假设f ′(x1)=f ′(x2), 由于曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2),则下列等式成立: 由③得x1+x2=a,由①-②得x12+x1x2+x22=a2④ 又x12+x1●x2+x22=(x1+x2)2-x1x2=a2-x1(a-x2)=x12-ax1+a2=(x1-)2+a2≥a2 故由④得,x1=,此时x2=与x1≠x2矛盾,所以f ′(x1)≠f ′(x2). (3)由(2)知,过点(0,2)可作y=f(x)的三条切线,等价于方程2-f(t)=f ′(t)(0-t)有三个相异的实根,即等价于方程t3-t2+1=0有三个相异的实根. 设g(t)=t3-t2+1,则g′(t)=2t2-at=2t(t-) 由于a>0,故有 由g(t)的单调性可知:要使g(t)=0有三个相异的实根,当且仅当1-<0,即a>, ∴a的取值范围是(,+∞) |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设函数f(x)=x3-x2+bx+c,其中a>0,曲线y=f(x)在点P(0,f(0))..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的极值与导数的关系”。