设f（x）是定义在集合D上的函数，若对集合D中的任意两数x1，x2恒有f(14x1+34x2)＜14f(x1)+34f(x2)成立，则f（x）是定义在D上的β函数．（1）试判断f（x）=x2是否是其定义域上的β函数？（2-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）是定义在集合D上的函数，若对集合D中的任意两数x1，x2恒有..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-09 07:30:00

试题原文

设f（x）是定义在集合D上的函数，若对集合D中的任意两数x₁，x₂恒有f(

1

4

x1+

3

4

x2)＜

1

4

f(x1)+

3

4

f(x2)成立，则f（x）是定义在D上的β函数．
（1）试判断f（x）=x²是否是其定义域上的β函数？
（2）设f（x）是定义在R上的奇函数，求证：f（x）不是定义在R上的β函数．
（3）设f（x）是定义在集合D上的函数，若对任意实数α∈[0，1]以及集合D中的任意两数x₁，x₂恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），则称f（x）是定义在D上的α-β函数．已知f（x）是定义在R上的α-β函数，m是给定的正整数，设a_n=f（n），n=1，2，3…m且a₀=0，a_m=2m，记∫=a₁+a₂+a₃+…+a_m，对任意满足条件的函数f（x），求∫的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f(

1

4

x1+

3

4

x2)-[

1

4

f(x1)+

3

4

f(x2)]=(

1

4

x1+

3

4

x2)2-(

1

4

x12+

3

4

x22)=-

3

16

x12-

7

16

x22+

3

8

x1x2
=-

3

16

(x1-x2)2-

5

8

x22＜0
∴对定义域中的任意两数x₁，x₂恒有f(

1

4

x1+

3

4

x2)＜

1

4

f(x1)+

3

4

f(x2)成立，
∴f（x）=x²是其定义域上的β函数；
（2）证明：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0
∴x₁=x₂=0时，f(

1

4

×0+

3

4

×0)=

1

4

f(0)+

3

4

f(0)
∴f（x）不是定义在R上的β函数．
（3）（Ⅱ）对任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=

n

m

∈[0，1]，
∵f（x）是R上的α-β函数，a_n=f（n），且a₀=0，a_m=2m，
∴a_n=f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）=

n

m

×2m=2n；
那么∫=a₁+a₂+…+a_m≤2×（1+2+…+m）=m²+m．
可知f（x）=2x是α-β函数，且使得a_n=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时∫=m²+m．
综上所述，∫的最大值为m²+m．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）是定义在集合D上的函数，若对集合D中的任意两数x1，x2恒有..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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