已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，f(x)=2x2x+1．（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明之．-数学试题及答案

1、试题题目：已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，f(x)=2x2x+1．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，f(x)=

2x

2x+1

．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明之．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设-1＜x＜0，则0＜-x＜1，
故f(-x)=

2-x

2-x+1

=

1

2x+1

，
又f（x）为奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-

1

2x+1

，
由于奇函数f（x）的定义域为（-1，1），所以f（0）=0，
所以，f（x）=

2x

2x+1

，0＜x＜1

0，x=0

-

1

1+2x

，-1＜x＜0

．
（2）f（x）在（0，1）上单调递增．
证明：任取x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，
则f(x2)-f(x1)=

2x2

1+2x2

-

2x1

1+2x1

=

2x2-2x1

(1+2x1)(1+2x2)

，
因为y=2^x在x∈R上递增，且0＜x₁＜x₂，
所以2x2-2x1＞0，
因此f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在（0，1）上单调递增．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知奇函数f（x）的定义域为（-1，1），当x∈（0，1）时，f(x)=2x2x+1．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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