已知函数f（x）=2x-12x．（1）若f（x）=2+22x，求x的值；（2）判断f（x）的单调性，并证明；（3）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于任意实数t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=2x-12x．（1）若f（x）=2+22x，求x的值；（2）判断f（x）的单..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=2^x-

1

2x

．
（1）若f（x）=2+

2

2x

，求x的值；
（2）判断f（x）的单调性，并证明；
（3）若2^tf（2t）+mf（t）≥0对于任意实数t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=2^x-

1

2x

=2+

2

2x

，∴2^2x-2?2^x-3=0，解得 2^x=3，或 2^x=-1 （舍去），
故 x=log₂3．
（2）函数f（x）的定义域为R，任意取x₂＞x₁，则 f（x₂）-f（x₁）=2x2-

1

2x2

-（2x1-

1

2x1

）=（2x2-2x1）（1+

1

2x2?2x1

）．
由题设可得，（2x2-2x1）＞0，（1+

1

2x2?2x1

）＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即 f（x₂）＞f（x₁），
故函数f（x）在R上是增函数．
（3）当t∈[1，2]，2^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，即2^t（2^2t-

1

22t

）+m（2^t-

1

2t

）≥0．
由于2t-

1

2t

＞0，∴2^t（2^t+

1

2t

）+m≥0，故 m≥-（4^t+1）．
由于-（4^t+1）的最大值为-5，故有m≥-5，即m的范围是[-5，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=2x-12x．（1）若f（x）=2+22x，求x的值；（2）判断f（x）的单..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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