定义在R上的单调增函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（k?3x）+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：定义在R上的单调增函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

定义在R上的单调增函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（k?3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．
令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得 f（x-x）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，则有0=f（x）+f（-x）．
即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数．--------------（4分）
（2）f（x）在R上是单调增函数，又由（1）知f（x）是奇函数．
∵f（k?3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2），
∴k?3^x＜-3^x+9^x+2，
∴3^2x-（1+k）?3^x+2＞0对任意x∈R成立．
令t=3^x＞0，问题等价于t²-（1+k）t+2＞0对任意t＞0恒成立．--------------------（6分）
令g（t）=t²-（1+k）t+2，其对称轴为x=

1+k

2

当

1+k

2

＜0，即k＜-1时，f（0）＞2，符合题意；
当

1+k

2

≥0，即k≥-1时，则△=（1+k）²-4×2＜0，∴-1≤k＜-1+2

2

综上，k＜-1+2

2

--------------------------（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在R上的单调增函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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