定义在实数集上的函数f（x）满足下列条件：①f（x）是偶函数；②对任意非负实数x、y，都有f（x+y）=2f（x）f（y）；③当x＞0时，恒有f(x)＞12．（1）求f（0）的值；（2）证明：f（x）在[0，+∞）上是单调-数学试题及答案

1、试题题目：定义在实数集上的函数f（x）满足下列条件：①f（x）是偶函数；②对任意非..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

定义在实数集上的函数f（x）满足下列条件：
①f（x）是偶函数；②对任意非负实数x、y，都有f（x+y）=2f（x）f（y）；③当x＞0时，恒有f(x)＞

1

2

．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：f（x）在[0，+∞）上是单调增函数；
（3）若f（3）=2，解关于a的不等式f（a²-2a-9）≤8．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x=0，y=1，
则f（1）=2f（0）?f（1），
∵f(1)＞

1

2

，
∴f(0)=

1

2

．…（4分）
（2）∵当x＞0时，恒有f(x)＞

1

2

，又f（x）是偶函数，
∴当x＜0时，f(x)=f(-x)＞

1

2

，
又f(0)=

1

2

，f（x）＞0恒成立．…（6分）
设0≤x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，f(x2-x1)＞

1

2

，
∴f（x₂）=2f（x₁）f（x₂-x₁）＞f（x₁），…（9分）
∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数．…（10分）
（3）令x=y=3，则f（6）=2f²（3）=8，…（12分）
∴f（a²-2a-9）=f（|a²-2a-9|）≤f（6），
由f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，
得|a²-2a-9|≤6，…（14分）
即

a2-2a-9≥-6

a2-2a-9≤6

，
解得

a≤-1或a≥3

-3≤a≤5

，
∴-3≤a≤-1或3≤a≤5．…16 分

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在实数集上的函数f（x）满足下列条件：①f（x）是偶函数；②对任意非..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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