设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足；对任意a，b∈（0，+∞），都有f（b）=f（a）-f（ab），且当x＞1时，f（x）＞0．（1）求f（1）的值；（2）判断并证明函数f（x）的单调性；（3）如果f（3）=1，解不等式-数学试题及答案

1、试题题目：设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足；对任意a，b∈（0，+∞），都有f（b..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-28 07:30:00

试题原文

设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足；对任意a，b∈（0，+∞），都有f（b）=f（a）-f（

a

b

），且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）如果f（3）=1，解不等式f（x）-f（

1

x-8

）＞2．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）取a=b=1，得f（1）=f（1）-f（1）=0，所以f（1）=0．
（2）函数在（0，+∞）上是单调增函数．
任取x₁，x₂∈（0，+∞），设x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

），因为0＜x₁＜x₂，所以

x2

x1

＞1，又当x＞1时，有f（x）＞0，所以f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）．所以f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
（3）若f（3）=1，则2=1+1=f（3）+f（3）=f（9），f（x）-f（

1

x-8

）=f（x（x-8）），则不等式f（x）-f（

1

x-8

）＞2可以化为f（x（x-8））＞f（9），即

x＞0

x-8＞0

x(x-8)＞0

，解得x＞9．即不等式的解集为（9，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足；对任意a，b∈（0，+∞），都有f（b..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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