四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形且∠ADC=60°．（1）求证：PA⊥CD；（2）求二面角P-AB-D的大小．-数学试题及答案

1、试题题目：四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-13 07:30:00

试题原文

四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形且∠ADC=60°．
（1）求证：PA⊥CD；
（2）求二面角P-AB-D的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二面角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）作PO⊥CD于O，连接OA
由侧面PDC与底面ABCD垂直，则PO⊥面ABCD
所以PO⊥OA且PO⊥OC，又由∠ADC=60°，DO=1，AD=2，
则∠DOA=90°，即OA⊥CD
分别以OA，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
由已知P（0，0，

3

），A（

3

，0，0），D（0，-1，0），C（0，1，0），
∴

PA

=（

3

，0，-

3

），

CD

=（0，-2，0），
∴

PA

?

CD

=0，∴

PA

⊥

CD

，
∴PA⊥CD．
（2）∵P（0，0，

3

），A（

3

，0，0），B（

3

，2，0），D（0，-1，0），
∴

PA

=（

3

，0，-

3

），

PB

=（

3

，2，-

3

），

DA

=(

3

，1，0)，

DB

=（

3

，3，0）
设平面ABP的法向量为

m

=(x1，y1，z1)，则

m

?

PA

=0，

m

?

PB

=0，
∴

3

x1-

3

z1=0

3

x1+2y1-

3

z1=0

，解得

m

=（1，0，1）．
设平面ABD的法向量为

n

=(x2，y2，z2)，则

n

?

DA

=0，

n

?

DB

=0，
∴

3

x2+y2=0

3

x2+3y2=0

，解得

n

=（0，0，1），
设二面角P-AB-D的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

1

2

×1

|=

2

，
∴θ=45°，
故二面角P-AB-D的大小为45°．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底..”的主要目的是检查您对于考点“高中二面角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二面角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：