已知数列{an}中，a1=1，an+1（2+an）=2an（n∈N*），（Ⅰ）求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记Tn=a1a2+a2a3+…+an-1an（n≥2），试判断Tn与2的大小，并说明理由．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=1，an+1（2+an）=2an（n∈N*），（Ⅰ）求a2，a3，a4的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1（2+a_n）=2a_n（n∈N^*），
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n（n≥2），试判断T_n与2的大小，并说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由a_n+1（2+a_n）=2a_n（n∈N^*），得an+1=

2an

2+an

，
∵a₁=1，∴a2=

2a1

2+a1

=

2

3

，a2=

2a2

2+a2

=

2

4

，a4=

2a3

2+a3

=

2

5

． …（3分）
又由an+1=

2an

2+an

得

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
∴{

1

an

}是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列，
∴

1

an

=1+

1

2

（n-1）=

n+1

2

，∴an=

2

n+1

． …（7分）
（Ⅱ）T_n＜2．证明如下：…（8分）
当n≥2时，a_n-1a_n=

2

n

?

2

n+1

=4（

1

n

-

1

n+1

），…（10分）
∴T_n=4[（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=4（

1

2

-

1

n+1

）=2-

4

n+1

＜2…（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=1，an+1（2+an）=2an（n∈N*），（Ⅰ）求a2，a3，a4的..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：