数列{an}满足an=2an-1+2n+1（n∈N，n≥2），a3=27．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）记bn=12n(an+t)(n∈N*)，是否存在一个实数t，使数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}满足an=2an-1+2n+1（n∈N，n≥2），a3=27．（Ⅰ）求a1，a2的值；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

数列{a_n}满足 a_n=2a_n-1+2ⁿ+1（n∈N，n≥2），a₃=27．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）记bn=

1

2n

(an+t)(n∈N*)，是否存在一个实数t，使数列{b_n}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由a₃=27，27=2a₂+2³+1----------（1分）∴a₂=9----------（2分）
∴9=2a₁+2²+1∴a₁=2------------（3分）
（Ⅱ）假设存在实数t，使得{b_n}为等差数列．
则2b_n=b_n-1+b_n+1------------（4分）∴2×

1

2n

(a n+t)=

1

2n-1

(a n-1+t)+

1

2n+1

(a n+1+t)
∴4a_n=4a_n-1+a_n+1+t------------（5分）∴4a n=4×

a n-2n-1

2

+2a n+2n+1+t+1∴t=1------------（6分）
存在t=1，使得数列{b_n}为等差数列．------------（7分）
（Ⅲ）由（1）、（2）知：b 1=

3

2

，b 2=

5

2

------------（8分）
又{b_n}为等差数列.b n=n+

1

2

∴a n=(n+

1

2

)?2n-1=(2n+1)?2n-1-1------------（9分）
∴S_n=3×2⁰-1+5×2¹-1+7×2²-1+…+（2n+1）×2^n-1-1=3+5×2+7×2²+…+（2n+1）×2^n-1-n
∴2S_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n+1）×2ⁿ-2n∴-S_n=3+2×2+2×2²+2×2³+…+2×2^n-1-（2n+1）×2ⁿ+n----------（11分）=1+2×

1-2n

1-2

-(2n+1)×2n+n
=（1-2n）×2ⁿ+n-1S_n=（2n-1）×2ⁿ-n+1------------（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}满足an=2an-1+2n+1（n∈N，n≥2），a3=27．（Ⅰ）求a1，a2的值；..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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