设数列{an}（n∈N*）的前n项的和为Sn，满足a1=1，Sn+1an+1-Snan=12n（n∈N*）．（1）求证：Sn=（2-12n-1）an；（2）求数列{an}的通项公式．-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}（n∈N*）的前n项的和为Sn，满足a1=1，Sn+1an+1-Snan=12n..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}（n∈N^*）的前n项的和为S_n，满足a₁=1，

Sn+1

an+1

-

Sn

an

=

1

2n

（n∈N^*）．
（1）求证：S_n=（2-

1

2n-1

）a_n；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：数列{a_n}（n∈N^*）的前n项的和为S_n，满足a₁=1，

Sn+1

an+1

-

Sn

an

=

1

2n

（n∈N^*）．
所以

S2

a2

-

S1

a1

=

1

2

，

S3

a3

-

S2

a2

=

1

4

；

S4

a4

-

S3

a3

=

1

8

；
…

Sn

an

-

Sn-1

an-1

=

1

2n-1

；
将n-1个式子相加可得：

Sn

an

-

S1

a1

=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

，
所以

Sn

an

=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

=

1-

1

2n-1

1-

1

2

=2-

1

2n-1

；
∴S_n=（2-

1

2n-1

）a_n；
（2）因为S_n=（2-

1

2n-1

）a_n；
所以S_n-1=（2-

1

2n-2

）a_n-1；（n≥2）
所以a_n=（2-

1

2n-1

）a_n-（2-

1

2n-2

）a_n-1；可得

1

2

an =an-1，
因为a₂=2，当n=1时，满足数列{a_n}是等比数列公比为2．
所以a_n=2^n-1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}（n∈N*）的前n项的和为Sn，满足a1=1，Sn+1an+1-Snan=12n..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：