已知函数f(x)=7x+5x+1，数列{an}满足：2an+1-2an+an+1an=0且an≠0．数列{bn}中，b1=f（0）且bn=f（an-1）（1）求证：数列{1an}是等差数列；（2）求数列{|bn|}的前n项和Tn；（3）是否存在自-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=7x+5x+1，数列{an}满足：2an+1-2an+an+1an=0且an≠0．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

7x+5

x+1

，数列{a_n}满足：2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0且a_n≠0．数列{b_n}中，b₁=f（0）且b_n=f（a_n-1）
（1）求证：数列{

1

an

}是等差数列；（2）求数列{|b_n|}的前n项和T_n；
（3）是否存在自然数n，使得（2）中的T_n∈（480，510）．若存在，求出所有的n；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0，
得

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
所以，数列{

1

an

}是等差数列．
（2）∵b₁=f（0）=5，
∴

7(a1-1)+5

a1-1+1

=5，
7a₁-2=5a₁，
∴a₁=1，

1

an

=1+(n-1)

1

2

，
∴an=

2

n+1

.bn=

7an-2

an

=7-(n+1)=6-n．
当n≤6时，Tn=

n

2

(5+6-n)=

n(11-n)

2

，
当n≥7时，Tn=15+

n-6

2

(1+n-6)=

n2-11n+60

2

．
所以，Tn=

n(11-n)

2

，n≤6

n2-11n+60

2

，n≥7

（3）不存在这样的自然数．
如果存在必定n＞7，
而在n＞7时T_n是递增的，
而n=36时，
T_n=480，
n=37时，T_n=511，
所以不存在这样的自然数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=7x+5x+1，数列{an}满足：2an+1-2an+an+1an=0且an≠0．..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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