已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S5=3a5-2，又a1，a2，a5依次成等比数列，数列{bn}满足b1=-9，bn+1=bn+k2an+12，（n∈N+）其中k为大于0的常数．（1）求数列{an}，-数学试题及答案

1、试题题目：已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S5=3a5-2，又..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₅=3a₅-2，又a₁，a₂，a₅依次成等比数列，数列{b_n}满足b₁=-9，bn+1=bn+

k

2

an+1

2

，（n∈N⁺）其中k为大于0的常数．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记数列a_n+b_n的前n项和为T_n，若当且仅当n=3时，T_n取得最小值，求实数k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则S₅=5a₁+10d
∵S₅=3a₅-2=3（a₁+4d）-2=3a₁+12d-2
∴5a₁+10d=3a₁+12d-2
∴a₁=d-1
∵a₁，a₂，a₅依次成等比数列
∴a₂²=a₁a₅即（a₁+d）²=a₁（a₁+4d）
化简得：d=2a₁
∴a₁=1，d=2
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1
∴bn+1=bn+

k

2

an+1

2

=bn+

k

2n

∴bn+1-bn=

k

2n

当n≥2时，bn-bn-1=

k

2n-1

bn-1-bn-2=

k

2n-2

b2-b1=

k

2

∴bn-b1=

k

2n-1

+

k

2n-2

+

k

2

=k×(

2n-1-1

2-1

×

1

2n-1

)=k×

2n-1-1

2n-1

=k-

2k

2n-1

∴bn=-9+k-

2k

2n-1

当n=1时，b₁=9满足上式
∴bn=-9+k-

2k

2n-1

(n∈N*)
（2）∵a_n=2n-1，bn=-9+k-

k

2n-1

(n∈N*)
∴(an+1+bn+1)-(an+bn)=2+

k

2n

＞0
∴数列a_n+b_n是递增数列
∵当n=3时，T_n取得最小值
∴a3+b3=5+(k-9-

k

4

)=

3k

4

-4＜0a4+b4=7+(k-9-

k

8

)=

7k

8

-2＞0
解得

16

7

＜k＜

16

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S5=3a5-2，又..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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