已知函数f（x）=3-x，等比数列an的前n项和为f（n）-c，正项数列bn的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn=Sn-1+Sn-1，(n≥2)（1）求c，并求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）求数列{bn(1-12a-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=3-x，等比数列an的前n项和为f（n）-c，正项数列bn的首..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=3^-x，等比数列a_n的前n项和为f（n）-c，正项数列b_n的首项为c，且前n项和S_n满足Sn-

Sn

=Sn-1+

Sn-1

，(n≥2)
（1）求c，并求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{bn(1-

1

2

an)}的前n项和为T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵等比数列a_n的前n项和为f（n）-c，
∴a₁=f（1）-c=

1

3

-c，
∴a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=-

2

9

，a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=-

2

27

又数列{a_n}成等比数列，
a1=

a

22

a3

=-

2

3

，
∵a₁=

1

3

-c
∴-

2

3

=

1

3

-c，∴c=1
又公比q=

a2

a1

=

1

3

所以a_n=-

2

3

?(

1

3

)n-1，n∈N；
∵S_n-S_n-1=(

Sn-Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）
又b_n＞0，

Sn

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

=1；
∴数列{

Sn

}构成一个首项为1公差为1的等差数列，
∴

Sn

=1+（n-1）×1=n，S_n=n²
当n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1；
又b₁=c=1适合上式，∴b_n=2n-1（n∈N）；
（2）由（1）知bn(1-

1

2

an)=（2n-1）+（2n-1）?（

1

3

）ⁿ设（2n-1）?（

1

3

）ⁿ前n项和为Q_n 设数列2n-1的前n项和为S_n
Q_n=

1

3

+3×（

1

3

）²+5×（

1

3

）³+…+（2n-3）?（

1

3

）^n-1+（2n-1）?（

1

3

）ⁿ ①

1

3

Q_n=（

1

3

）²+3×（

1

3

）³+5×（

1

3

）⁴+…+（2n-3）?（

1

3

）ⁿ+（2n-1）?（

1

3

）ⁿ⁺¹ ②
①-②得：

2

3

QN=

1

3

+2[(

1

3

)2+(

1

3

)3+(

1

3

)4++(

1

3

)n]-(2n-1)(

1

3

)n+1=

2

3

-(2n+2)(

1

3

)n+1
∴Q_n=1-（n+1）（

1

3

）ⁿ∴S_n=n²∴T_n=S_n⁺Q_n=n²+1-（n+1）（

1

3

^）n

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=3-x，等比数列an的前n项和为f（n）-c，正项数列bn的首..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：