数列{an}的前n项和为sn，a1=1，an+1=2sn+1，（n≥1），等差数列{bn}的各项均为正数，前n项和为Bn，且B3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}的前n项和为sn，a1=1，an+1=2sn+1，（n≥1），等差数列{bn}..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-30 07:30:00

试题原文

数列{a_n}的前n项和为s_n，a₁=1，a_n+1=2s_n+1，（n≥1），等差数列{b_n}的各项均为正数，前n项和为B_n，且B₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，求T_n的表达式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），
∴a_n=2S_n-1+1（n∈N^*，n＞1），
∴a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1），
∴a_n+1-a_n=2a_n，
∴a_n+1=3a_n（n∈N^*，n＞1）（2分）
而a₂=2a₁+1=3=3a₁，
∴a_n+1=3a_n（n∈N^*）
∴数列{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴a_n=3^n-1（n∈N^*）（4分）
∴a₁=1，a₂=3，a₃=9，
在等差数列{b_n}中，
∵b₁+b₂+b₃=15，
∴b₂=5．
又因a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比数列，设等差数列{b_n}的公差为d，
∴（1+5-d）（9+5+d）=64（6分）
解得d=-10，或d=2，
∵b_n＞0（n∈N*），
∴舍去d=-10，取d=2，
∴b₁=3，
∴b_n=2n+1（n∈N^*）．（8分）
（Ⅱ）∵T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，
∴由（Ⅰ）知T_n=3×1+5×3+7×3²++（2n-1）3^n-2+（2n+1）3^n-1，①
3T_n=3×3+5×3²+7×3³++（2n-1）3^n-1+（2n+1）3ⁿ，②（10分）
①-②得-2T_n=3×1+2×3+2×3²+2×3³++2×3^n-1-（2n+1）3ⁿ，（12分）
=3+2（3+3²+3³++3^n-1）-（2n+1）3ⁿ=3+2×

3-3n

1-3

-（2n+1）3n=3n-（2n+1）3n=-2n?3n，
∴T_n=n?3ⁿ．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}的前n项和为sn，a1=1，an+1=2sn+1，（n≥1），等差数列{bn}..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）”。

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