已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn．等比数列{bn}的前n项和为Tn，且S4=2S2+4，b2=19，T2=49．（Ⅰ）求公差d的值；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，都有Sn≥S8成立，求a1的取值范围-数学试题及答案

1、试题题目：已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn．等比数列{bn}的前..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-03 07:30:00

试题原文

已知{a_n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S_n．等比数列{b_n}的前n项和为T_n，且S₄=2S₂+4，b2=

1

9

，T2=

4

9

．
（Ⅰ）求公差d的值；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈成立，求a₁的取值范围；
（Ⅲ）若a1=

1

2

，判别方程S_n+T_n=55是否有解？并说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的前n项和

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵S₄=2S₂+4，
∴4a₁+

3×4

2

d=2（2a₁+d）+4，解得d=1．…3
（Ⅱ）∵等差数列{a_n}的公差d=1＞0，S_n要取得最小值S₈，必须有

a8≤0

a9≥0

，即

a1+7d≤0

a1+8d≥0

．
求得-8≤a₁≤-7，
∴a₁的取值范围是[-8，-7]．…4
（Ⅲ）由于等比数列{b_n}满足b2=

1

9

，T2=

4

9

，即

b1q=

1

9

b1+b1q=

4

9

，解得b₁=

1

3

，q=

1

3

，
∴Tn=

1

3

[1-(

1

3

)n]

1-

1

3

=

1

2

[1-(

1

3

)n]，又S_n=na₁+

1

2

n（n-1）d=

1

2

n²，…2
则方程S_n+T_n=55转化为：n²+[1-(

1

3

)n]=110．
令：f（n）=n²+1-(

1

3

)n，知f（n）单调递增，
当1≤n≤10时，f（n）≤100+[1-(

1

3

)n]＜100+1=101，
当n≥11时，f（n）≥11²+[1-(

1

3

)11]＞11²=121，所以方程S_n+T_n=55无解．…3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn．等比数列{bn}的前..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的前n项和”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的前n项和”。

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