已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O为原点．（1）若AC⊥BC，求sin2α的值；（2）若丨OC+OA丨=13，α∈（0，π），求OB与OC的夹角．-数学试题及答案

1、试题题目：已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O为原点．（1）若AC⊥BC，求s..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-17 07:30:00

试题原文

已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O为原点．
（1）若

AC

⊥

BC

，求sin2α的值；
（2）若丨

OC

+

OA

丨=

13

，α∈（0，π），求

OB

与

OC

的夹角．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用数量积表示两个向量的夹角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），
所以

AC

=(cosα-3，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-3)，
因

AC

⊥

BC

，所以（cosα-3，sinα）?（cosα，sinα-3）=0 （2分）
则sinα+cosα=

1

3

…（4分）
则平方得2sinαcosα=sin2α=-

8

9

…（6分）
（2）由丨

OC

+

OA

丨=

13

，α∈（0，π），平方得cosα=

1

2

，所以sinα=

3

2

．
即C（

1

2

，

3

2

），
设

OB

与

OC

的夹角为θ，
则cosθ=

OB

?

OC

|

OB

|?|

OC

|

=

3×

3

2

3×1

=

3

2

．
所以θ=

π

6

．
即

OB

与

OC

的夹角为

π

6

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），O为原点．（1）若AC⊥BC，求s..”的主要目的是检查您对于考点“高中用数量积表示两个向量的夹角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用数量积表示两个向量的夹角”。

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