已知向量OA=（λsinα，λcosα），OB=（cosβ，sinβ），且α+β=5π6，其中O为原点．（Ⅰ）若λ＜0，求向量OA与OB的夹角；（Ⅱ）若λ∈[-2，2]，求|AB|的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知向量OA=（λsinα，λcosα），OB=（cosβ，sinβ），且α+β=5π6，其中O..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-17 07:30:00

试题原文

已知向量

OA

=（λsinα，λcosα），

OB

=（cosβ，sinβ），且α+β=

5π

6

，其中O为原点．
（Ⅰ）若λ＜0，求向量

OA

与

OB

的夹角；
（Ⅱ）若λ∈[-2，2]，求|

AB

|的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用数量积表示两个向量的夹角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意可得|

OA

|=

(λsinα)2+(λcosα)2

=-λ，
|

OB

|=

cos2β+sin2β

=1，

OA

?

OB

=λsinαcosβ+λcosαsinβ
=λsin（α+β）=λsin

5π

6

=

1

2

λ，设向量

OA

与

OB

的夹角为θ，
则cosθ=

1

2

λ

-λ×1

=-

1

2

，又因为θ∈[0，π]，
所以向量

OA

与

OB

的夹角θ为

2π

3

；
（Ⅱ）|

AB

|=|

OB

-

OA

|=

(cosβ-λsinα)2+(sinβ-λcosα)2

=

1+λ2-2λ(sinαcosβ+cosαsinβ)

=

1+λ2-2λsin(α+β)

=

1+λ2-λ

=

(λ-

1

2

)2+

3

4

，由于λ∈[-2，2]，
由二次函数的知识可知：当λ=

1

2

时，上式有最小值

3

2

，
当λ=-2时，上式有最大值

7

，
故|

AB

|的取值范围是[

3

2

，

7

]

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知向量OA=（λsinα，λcosα），OB=（cosβ，sinβ），且α+β=5π6，其中O..”的主要目的是检查您对于考点“高中用数量积表示两个向量的夹角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用数量积表示两个向量的夹角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：